Sujet 0, 2024

L'exercice est constitué de deux parties indépendantes.

Partie I

On considère l'équation différentielle  $(E):y^{\prime }+y={\text{e}}^{-x}$ .

1. Soit $u$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $u(x)=x{\text{e}}^{-x}$ . Vérifier que la fonction $u$ est une solution de l'équation différentielle $(E)$ .

2. On considère l'équation différentielle $\left(E^{\prime }\right):y^{\prime }+y=0$ . Résoudre l'équation différentielle $\left(E^{\prime }\right)$ sur $\mathbb{R}$ .

3. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle  $(E)$ sur $\mathbb{R}$ .

4. Déterminer l'unique solution $g$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $g(0)=2$ .

Partie II

Dans cette partie, $k$ est un nombre réel fixé que l'on cherche à déterminer.
On considère la fonction $f_k$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f_k(x)=(x+k){\text{e}}^{-x}$ .
Soit $h$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $h(x)={\text{e}}^{-x}$ .
On note  $C_k$ la courbe représentative de la fonction $f_k$ dans un repère orthogonal et $C$ la courbe représentative de la fonction $h$ .
On a représenté sur le graphique en annexe les courbes $C_k$ et $C$ sans indiquer les unités sur les axes ni le nom des courbes.

1. Sur le graphique ci-dessous à rendre avec la copie, l'une des courbes est en rouge, l'autre est en bleu. Laquelle est la courbe $C$ ?

2. En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel $k$ et placer sur le graphique l'unité sur chacun des axes du graphique.