Sujet 0, 2024

L'exercice est constitué de deux parties indépendantes.

Partie I

On considère l'équation différentielle  \((E) : y' + y = \text e^{-x}\) .

1. Soit \(u\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(u(x) = x \text e^{-x}\) . Vérifier que la fonction \(u\) est une solution de l'équation différentielle \((E)\) .

2. On considère l'équation différentielle \(\left(E'\right): y' + y = 0\) . Résoudre l'équation différentielle \(\left(E'\right)\) sur \(\mathbb R\) .

3. En déduire toutes les solutions de l'équation différentielle  \((E)\) sur \(\mathbb R\) .

4. Déterminer l'unique solution \(g\) de l'équation différentielle \((E)\) telle que \(g(0) = 2\) .

Partie II

Dans cette partie, \(k\) est un nombre réel fixé que l'on cherche à déterminer.
On considère la fonction \(f_{k}\) définie sur \(\mathbb R\) par : \(f_{k}(x) = (x + k) \text e^{-x}\) .
Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(h(x) = \text e^{-x}\) .
On note  \(C_{k}\) la courbe représentative de la fonction \(f_{k}\) dans un repère orthogonal et \(C\) la courbe représentative de la fonction \(h\) .
On a représenté sur le graphique en annexe les courbes \(C_{k}\) et \(C\) sans indiquer les unités sur les axes ni le nom des courbes.

1. Sur le graphique ci-dessous à rendre avec la copie, l'une des courbes est en rouge, l'autre est en bleu. Laquelle est la courbe \(C\) ?

2. En expliquant la démarche utilisée, déterminer la valeur du nombre réel \(k\) et placer sur le graphique l'unité sur chacun des axes du graphique.